Формально - никакой. Мы специально узнавали, надо ли еще кого-то с собой тащить или можно спокойно вдвоем в ЗАГС сходить.
Если энное количество лет назад свидетели еще где-то там расписывались, то сейчас этого ничего не нужно. Сейчас свидетели - это исключительно дань традиции. Да и реальных обязанностей каких-то у них нет, мне кажется. Если в Штатах друг жениха, например, отвечает за кольца, то я сомневаюсь, что в России свидетелю кольца доверят.
Ну, считается, что свидетельница должна всё время быть, так сказать, при невесте: поправлять платье, причёску, короче, быть этакой мамкой-нянькой.) Правда, я редко от кого слышала про таких заботливых свидетельниц...